Építése mátrix egy lineáris operátor - studopediya

2.1. Az építés egy mátrix egy adott képletű kijelzőn.

Tegyük fel, hogy a leképezési képlet határozza meg

azaz a koordinátáit egy tetszőleges kezdeti vektor koordinátái által meghatározott saját képet. Ezután, ahelyett, hogy tetszőleges x vektor vektor. megtalálja az utat, ez lesz a vektor. Ehhez a formula, amely meghatározza a kép a vektor, hiszünk. ...,. Ugyanígy találunk képeket .... A koordinátákat a kép vektor 1-edik oszlopa a mátrix egy lineáris operátor, hasonló, hogy koordinálja az azt követő vektorok - a többi oszlopot. Tekintsük a következő példát.

1. példa Tegyük fel, hogy a kezelő által megadott képlet szerint:

Először is, azt bizonyítja, hogy ez a térkép - valóban lineáris operátor. A kijelző az összeg a vektorok:

Most, minden koordináta a kapott vektor lehet konvertálni:

Hasonlóképpen, egy állandó tényezőt:

Ahhoz, hogy megtalálja a mátrix egy lineáris operátor, szükség van, mint már említettük, helyettesítheti a értékek x1 = 1, x2 = 0, akkor X1 = 0, x2 = 1. Ebben a példában, a képek a referencia-vektorok - rendre (3, 1) és (2, -1). Ezért, a mátrix a lineáris üzemben lesz:

Hasonló módon, hogy megoldja a problémát, és a 3 vagy több változó.

Készítünk egy mátrix operátor. Megjelenítésével a vektor (1,0,0), kapjuk (1,4, -1), illetve (0,1,0) válik (2,1, -2), és a vektor (0,0,1) - egy (-1,1,3). lineáris operátor mátrix:

2.2. Generation a mátrix az esetben, ha a forrás ismert, és az alapja vektorok a rendszer, amelyben az megjelenik.

Adott egy rendszer n vektorok alapját alkotják, és tetszőleges, n vektorok (esetleg lineárisan függő), akkor világosan meghatározott lineáris operátor leképezés mindegyik vektort először egy megfelelő vektorba rendszer a második rendszer.

A mátrix ezen használati megtalálható két módon: segítségével a fordított mátrixba, és rendszer alkalmazásával egyenletek.

Let - mátrix alapján. By feltételezés, minden indexek. N Ezek az egyenletek felírható egyetlen mátrix-egyenlettel :. a mátrix oszlopait - vektorok. és a mátrix oszlopait - vektorok. Ezután a mátrixot megtalálható formájában.

Példa. Keresse meg a mátrix egy lineáris operátor térképezés alapján

a vektorok.

Itt van. . . és megkapjuk:

Az ellenőrzés történik, hogy megszorozzuk a kapott mátrix minden egyes vektor :.

Hasonlóképpen lehet megoldani az ilyen problémákat, és a háromdimenziós térben. Melléklet (5. §) van több lehetőség az ilyen feladatokat.

2.3. Más módon a megállapítás a mátrix az üzemeltető.

Vannak példák, ahol a lineáris operátor meghatározza más módon eltérő tárgyalt Sec. 2.1 és 2.2.

Példa. Lineáris operátorok a jobb és bal vektor szorzás fix vektora a háromdimenziós térben, azaz a típus és a kijelző. Készítünk egy mátrix egy ilyen üzemeltetők .A ezt találjuk a képek a három alapvető vektorok egy lineáris tér. .

Koordináták eredetű vektorok felírható az oszlop formájában mátrix az üzemeltető.

Hasonlóképpen, tudjuk építeni egy mátrix lineáris operátor:

Példa. Lineáris differenciáloperátor a tér polinomok foka legfeljebb n. Ez a tér dimenzió n + 1. Vegyük alapul az elemeket. . ...,.

A mátrix egy lineáris operátor:

Lineáris operátorok képes megjeleníteni nem csak a végső dimenzió a tér, hanem a végtelen térben. Így a szolgáltató a differenciálás lehet tekinteni, mint a tér minden folytonos függvények. (Ebben a térben, nem véges alapon). Ebben az esetben, természetesen, az üzemeltető nem lehet megadni véges rendű mátrix.