A gyökerei egy másodfokú egyenlet

Formula másodfokú egyenlet gyökerek. Az esetek tényleges, sokrétű és összetett gyökereit. Faktoring másodfokú polinom. Geometriai értelmezés. Példák a meghatározása a gyökerek és factorizations.

alapképlete

Tekintsük a másodfokú egyenlet:
(1).
A gyökerek a másodfokú egyenlet (1) által meghatározott képletek:
;.
Ezek a képletek kombinálni lehet a következő:
.
Amikor a gyökerek a másodfokú egyenlet ismertek, akkor a polinom a másodfokú lehet leírni a termék tényezők (tényezőként):
.

Ezután úgy véljük, hogy - a valós számokat.
Tekintsük a diszkriminánsa másodfokú egyenlet:
.
Ha a diszkrimináns pozitív. A másodfokú egyenlet (1) két különböző valós gyöke:
;.
Ezután a bővítés másodfokú polinom faktorizációs formában van:
.
Ha a diszkrimináns nulla. A másodfokú egyenlet (1) két több (azonos) valós gyöke:
.
faktoring:
.
Ha a diszkrimináns negatív. A másodfokú egyenlet (1) két komplex konjugált gyökerek:
;
.
Itt - az imaginárius egység;
és - a valós és képzetes része a gyökerek:
;.
majd

grafikus értelmezése

Ha készítesz egy függvény grafikonját
.
amely egy parabola, a grafikus metszéspontja a tengely lesz gyökerei az egyenlet
.
Amikor. grafikon metszi az abszcissza (tengely) a két pontot.
Amikor. Ami a grafikonon a vízszintes tengelyen egy ponton.
Amikor. grafikon metszi abszcisszán.

A következő példák az ilyen grafikonok.

Hasznos képletek kapcsolódó egy másodfokú egyenlet

A levezetése a másodfokú egyenlet a gyökerek

Elvégezzük átalakítás és a tápszer (F.1) és (F.3):

Így van a képlet a polinom másodfokú formájában:
.
Ez azt mutatja, hogy az egyenlet

végezzük
és.
Ez azt jelenti, amelyek gyökerei a másodfokú egyenlet
.

Példák a meghatározására a gyökerek a másodfokú egyenlet

Megtalálja a gyökereit a másodfokú egyenlet:
(1.1).

Írunk a másodfokú egyenlet általános alakját:
.
Összehasonlítva a (1.1) egyenlet azt látjuk, az együtthatók:
.
Találunk a diszkrimináns:
.
Mivel a diszkrimináns pozitív. akkor az egyenletnek két valós gyöke:
;
;
.

Így megkapjuk a bomlás másodfokú polinom faktoring:

A grafikon y = x 2 + 7 x 2 + 3 metszi a vízszintes tengelyen két pontot.

Építünk a függvény grafikonját
.
A grafikon ennek a funkciónak a parabola. Ez szubkultúrát abszcissza (tengely) két ponton:
és.
Ezek a pontok a gyökerei az eredeti (1.1) egyenlet.

Megtalálja a gyökereit a másodfokú egyenlet:
(2.1).

Írunk a másodfokú egyenlet általános alakját:
.
Összehasonlítva az eredeti egyenlet (2.1), azt látjuk, az értékek az együtthatók:
.
Találunk a diszkrimináns:
.
Mivel a diszkrimináns nulla. akkor az egyenlet két több (azonos) Root:
;
.

Ezután a bővítés háromtagú faktoring a következő:
.

A grafikon y = x 2 - 4 x + 4 utal az abszcissza egy ponton.

Építünk a függvény grafikonját
.
A grafikon ennek a funkciónak a parabola. Ez vonatkozik az abszcissza (tengely) egy ponton:
.
Ez a kiindulópont egy gyökér egyenlet (2.1). Mivel ez a gyökér része faktoring két oka volt:
.
akkor az ilyen gyökér nevezik több. Ez, úgy, hogy két azonos gyökerei:
.

Megtalálja a gyökereit a másodfokú egyenlet:
(3.1).

Írunk a másodfokú egyenlet általános alakját:
(1).
Írja át az eredeti egyenletet (3.1):
.
Összehasonlítva (1), azt látjuk, az értékek az együtthatók:
.
Találunk a diszkrimináns:
.
Diszkrimináns negatív. Ezért nincs igazi gyökereit.

Megtalálható összetett gyökereit:
;
;
.

Ütemezés funkció metszi az x tengely. Nincs igazi gyökereit.

Építünk a függvény grafikonját
.
A grafikon ennek a funkciónak a parabola. Ez nem jut át ​​az x-tengely (Y-tengely). Ezért nincs igazi gyökereit.

Nincs igazi gyökereit. A gyökerek a komplex:
;
;
.