Kinematikája olyan anyagból pont - a képletek és példák megoldása kinematika problémák

Ebben a fejezetben elsősorban tárgyalt módszerek a problémák megoldására, ahol a törvény a mozgás van kifejezve úgynevezett természetes módon: egyenlet s = f (t) előre meghatározott úton *.

* A megoldás a problémák, amelyek a törvény a mozgás kap a koordináta módszerrel, később tárgyaljuk ebben a fejezetben (31. §).

Ebben az esetben, a fő paraméterek, amelyek jellemzik a mozgását egy pont, de egy előre meghatározott útvonal, a következők: s - távolság egy előre meghatározott kezdeti helyzetben, és a T - idő.

Egy mennyiséget jellemző bármely adott időpontban irányát és mozgási sebességét egy pont, az úgynevezett sebesség (v ábrán. 192). A sebességvektor mindig irányul mentén érintő, hogy az irányt, amelyben a pont mozog. A számszerű értéke a sebesség bármely adott időpontban fejezzük származékot távolság az idő függvényében:
v = DS / dt vagy v = f „(t).

Gyorsulás egy pont adott idő jellemzi a változás mértéke a sebesség. Világosan meg kell érteni, hogy a sebessége - vektor, és ezért a sebesség változás történhetne két módon: egy numerikus érték (abszolút érték) és irányát.

A sebesség változásának mértéke modul azzal jellemezve tangens (tangensalnym) gyorsulás - komponense a teljes gyorsulás egy, tangenciális a trajektória (lásd ábra 192 ..).

A számértéke tangenciális gyorsulás általában úgy határozzuk meg a képlet
a = dV / dt vagy = f '' (t).

A sebesség változásának mértéke jellemzi centripetális irányban (normál) gyorsulása - összetevője a teljes gyorsulás egy, amely arra irányul, mentén a szokásos a röppálya irányába és a görbületi középpontja (lásd ábra 192 ..).

A számértéke normál gyorsulás határozza általános amelyet a képlet
egy = v 2 / R,
ahol v - sebesség a lényeg modul pillanatában;
R - görbületi sugara a pálya egy olyan helyen, ahol van egy olyan pont abban a pillanatban.

Amint azonosítottuk tangenciális és a normál gyorsulás könnyen meghatározhatja és gyorsulás egy (teljes gyorsulás pont).

Mivel az érintő és a normális egymásra merőleges, a számérték a gyorsulás egy segítségével határozható meg a Pitagorasz-tétel:
a = sqrt (2 + egy 2).

Az irányt a vektor lehet meghatározni a trigonometrikus kapcsolatok, az alábbi képletek:
sin α = an / a; cos α = a / a; tg α = AN / at.

De lehetőség van először, hogy meghatározza az irányt a teljes gyorsulás a következő képlet segítségével tg α = AN / at.
majd keresse meg a numerikus értékét:
a = egy / sin α vagy = a / cos a.

Tangenciális és normális gyorsulás fő pontjai a kinematikai mennyiségek meghatározására típusát és jellemzőit a lényeg.

A jelenléte tangenciális gyorsulás (a ≠ 0) vagy távollétében (a = 0) határozzuk meg rendre egyenetlen vagy folyékonyság pont.

A jelenléte egy normális gyorsulás (a ≠ 0) vagy távollétében (a = 0) meghatározása görbe vonalú, vagy egyenes vonalú mozgás a pont.

a lényeg a mozgás lehet besorolni a következők szerint:
a) egységes lineáris (a = 0, és egy = 0);
b) egységes ívelt (a = 0, és egy ≠ 0);
c) nem egységes egyenes vonalú (a ≠ 0 és = 0);
g) ívelt egyenetlen (a ≠ 0 és ≠ 0).

Így a mozgás a pont két szempont szerint: az a mozgás mértéke nem egységes megjelenés és pályája.

A foka egyenetlenség által meghatározott ponton az egyenlet s = f (t), és a forma a pálya meghatározott közvetlenül.

27. § egyenes vonalú egyenletes mozgás egy pont

Ha a = 0, és egy = 0, akkor a sebességvektor állandó marad (V = const), t. E. Nem változtatja meg az abszolút érték vagy irányt. Ez a mozgás az úgynevezett egységes egyenes vonalú.

Az egyenlet a mozgás egyenletes
(A) s = s0 + vt
vagy az esetben, amikor a kezdeti távolság s0 = 0,
(B) s = vt.

Az egyenletben (a) tartalmazza mind a négy értéket e két változó: s és t, és két állandók: S0 és v. Ezért a probléma egyenletes és egyenes vonalú mozgás pontot bármely három értéket meg kell adni.

A feladatok megoldásához szükséges, hogy megtudja, az összes megadott értékek és azokat azonos egységrendszer. Meg kell jegyezni, hogy a rendszerben a gravitációs metrikus rendszer (technikai) és az SI egysége kinematikai érték azonos: a távolság s méterekben, t idő - a másodperc, a sebesség v - m / s.

28. § Egységes görbe pályájú mozgás pont

Ha a = 0, és egy ≠ 0, akkor a modul nem változik a sebesség (pont mozog egyenletesen), de annak irányát megváltoztatja, és a pont mozog görbülve. Ellenkező esetben, során egyenletes mozgás egy görbe pálya mentén pont van rendes gyorsulás mentén irányul normális a pályára és a számszerűen egyenlő
egy = v 2 / R,
ahol R - görbületi sugara a pálya.

Abban az adott esetben az a pont a kerülete (vagy kerületi ívének) a görbületi sugara a pálya minden pontján konstans:
R = R = const,
valamint a számértéke állandó sebességgel,
egy = v 2 / r = const.

A egyenletes mozgás sebessége számértékkel határozza meg a képlet
v = (s - S0) / T vagy V = s / t.

Ha a pont az, hogy egy teljes távon a kerület mentén, s az út hossza a kerülete, azaz, s = 2πr = πd (d = 2r - átmérő) ...., és az idő megegyezik a időszakban, azaz t = T. Az expressziós ráta válik
v = 2πr / T = πd / T.

29. § egyenletesen gyorsuló mozgás pont

Ha a vektor a = const (tangenciális gyorsulás állandó nagyságú és irány), akkor egy = 0. Ezt a mozgást nevezzük ravnoperemennym és egyértelmű.

Ha az egyetlen állandó a számérték az érintő az egyenlet
a = dV / dt = f „(t) = const,
akkor egy ≠ 0 és mozgását egy pont nevű ravnoperemennym íves.

Amikor | at |> 0 egyenletesen gyorsuló mozgás egy pont hívják. és | a |<0 - равнозамедленным.

Az egyenlet a egyenletesen gyorsuló mozgás, függetlenül az útja meg van az űrlap
(1) s = s0 + v0 t + t 2/2.

Itt S0 - távolság a pontot a vonatkoztatási helyzetben a kiindulási; V0 - kezdeti sebességét, és a - a tangenciális gyorsítási - érték numerikusan állandó, egy s és t - változók.

A számértéke sebessége bármely időpontban a következő egyenletből meghatározzuk
(2) V = v0 + t.

Egyenletek (1) és (2) az alapvető képletei egyenletesen gyorsuló mozgás, és ezek tartalmaznak hat különböző értékek: három állandók: s0. v0. és három változó: s, v, t.

Ezért, hogy megoldja a problémát egyenletesen gyorsuló mozgás pont az ő állapotában kell adni legalább négy változó (rendszer két egyenlet megoldható, ha ezek két ismeretlen).

Ha nem szerepel a két alapvető egyenletek, például még ismeretlen és t, akkor a kényelem ilyen problémák megoldása származó kiegészítő tápszerek:

Abban a speciális esetben, amikor a kezdeti értékek s0 = 0, és v0 = 0 (egyenletesen gyorsuló mozgás a többi), megkapjuk ugyanazt a képletet egy egyszerűsített formában:
(5) s = t 2/2;
(6) V = t;
(7) s = vt / 2;
(8) s = v 2 / (2AT).

Egyenletek (5) és (6) alapvető, és az egyenleteket (7) és (8) - kiegészítő.

Egyenletesen gyorsuló mozgás nyugalmi, amely akkor csak a gravitáció, az úgynevezett szabadesés. Ahhoz, hogy ezt a mozgást az (5) - (8), azzal jellemezve,
a = g = 9,81 m / sec 2 ≈ 9,8 m / s 2.

§ 30. Szabálytalan mozgását a pont bármely pályája

31. § meghatározása a pálya, sebessége és gyorsulása pont, ha a törvény a mozgás határozza koordináta formájában

Ha a pont mozog képest egy koordináta rendszerben a pont koordinátáit az idővel változnak. Az egyenletek expresszáló funkcionális függését a koordinátáit a mozgó időpontban, az úgynevezett egyenletek a mozgás pontot egy koordináta-rendszerben (lásd. 51. §, n. 2. tankönyvében E. M. Nikitina).

Mozgás egy pont által meghatározott térben három egyenletet:
X = f1 (t);
(1) y = f2 (t);
Z = f3 (t);

Mozgása egy pont a síkban (. Ábra 203) határozza meg két egyenlet:
(2) X = f1 (t);
y = f2 (t);

Az egyenletrendszerek (1) vagy (2) hívják a törvény a mozgás egy pont koordináta formájában.

Az alábbiakban vesszük mozgás egy pont egy síkot használja, így csak a rendszer (2).

Ha a törvény a mozgás egy pont meghatározott koordináta formájában, akkor:

a) egy lapos pályáját a pont alábbi egyenlet fejezi ki
y = f (x),
amely képződik az egyenletek a mozgás kiküszöbölése után t idő;

b) a számértéke sebessége A pont meghatározása a következő képlet
v = sqrt (vx 2 + vy 2)
miután egy előzetes meghatározása a nyúlványok (lásd. ábra. 203) sebesség a koordinátatengelyeken
vx = dx / dt és vy = dy / dt;

c) egy számértéket a gyorsulás meghatározása a képlet
a = sqrt (ax 2 + ay 2)
miután egy előzetes meghatározása a gyorsulás a nyúlványok a koordinátatengelyeken
ax = DVX / dt és ay = DVY / dt;

g) az irányok sebesség és a gyorsulás viszonyítva tengelyei koordinátákat meghatározni a trigonometrikus közötti kapcsolatokat a sebesség vagy gyorsulás vektorok és előrejelzések.

§ 32. Kinematikai meghatározására szolgáló eljárás a görbületi sugár a pálya

Megoldásában számos technikai problémát meg kell tudni, hogy a görbületi sugár R (vagy 1 / R - hajlított) útját. Ha meghatározott pályája egyenlet, a görbületi sugár bármely ponton lehet meghatározni differenciálszámításról. Az egyenletek a mozgás egy pont koordináta formában van, akkor meg lehet határozni a görbületi sugara a pályáját a mozgó pont nélkül közvetlen pályája egyenlet tanulmány. Meghatározása a görbületi sugara a pálya útján egyenletek a mozgás egy pont koordináta formájában úgynevezett kinematikus módon. Ez a módszer azon a tényen alapul, hogy a görbületi sugár a pályán a mozgó pont szerepel a képletben
egy = v 2 / R,
kifejező számérték normál gyorsulás.

Point v sebességgel határozzuk meg a képlet
(B) v = sqrt (vx 2 + vy 2).

gyorsítaná a szokásos számérték szerepel a teljes kifejezést, a gyorsulás pont
a = sqrt (egy 2 + 2),
ahonnan
(C) egy = sqrt (2 - 2),
ahol a tér a teljes gyorsulás
(G) 2 = ax 2 + ay 2
és tangenciális gyorsulás
(D) = dV / dt.

Így, ha a törvény a mozgás a lényeg a következő egyenlet adja
X = f1 (t);
y = f2 (t),
meghatározásakor a görbületi sugara a pálya ajánlott a következő:

1. differenciálás az egyenlet a mozgás, kifejeződnek az előrejelzések a sebességvektor Koordinátatengelyek:
vx = f1 „(t);
vy = f2 „(t).

2. Behelyettesítve a (b „) az expressziós vx és vy. Keresse v 2.

3. differenciálás t az egyenletben (b), amelyet közvetlenül a (b „), keresse meg a tangenciális gyorsulás. , majd 2.

4. differenciálás a második egyenlet a mozgás, meg a kifejezés az előrejelzések a koordinátatengelyeken a gyorsulásvektor
ax = f1 '' (t) = vx „;
Ay = f2 '' (t) = vy”.

5. Behelyettesítve a (d) expressziós ax és ay. találni 2.

6. Helyettesítő be (a) értéke 2 és 2, és találni egy.

7. Behelyettesítve a (a) a talált értékek V 2 és egy. megkapja a görbületi sugár R.