Kinematikája olyan anyagból pont

Alapvető anyagi pont kinematikája képletű

Bemutatjuk az alapvető képlet kinematika anyagi pont. Ezután adjuk a levezetések és vita az elmélet.

A sugár vektor az anyag M pont egy derékszögű koordináta-rendszert Oxyz:
,
ahol - az egység vektorok (vektorok) irányában a tengelyek x, y, z.

pont sebesség:
;
.
.
Az egység irányába mutató vektor érintő a pályáját:
.

Tangenciális (nyírási) gyorsulás:
;
;
.

Egység vektor felé és a görbületi középpontja a pálya a pont (mentén a fő normál):
.

A görbületi sugár a pálya:
.

A következő egy származtatása ezek a képletek és a kézikönyv az elmélet az anyag pont kinematika.

A sugár vektort és a pályáját a pont

Tekintsük a mozgás az anyag M pontban választunk egy a rögzített derékszögű rendszer egy bizonyos fix ponton O. Oxyz koordináták a középső helyzete az M pont, majd egyedileg a koordinátái által meghatározott (x, y, z). Ezek a koordináták a komponensek a sugara vektor az anyagi pont.

A sugár vektor az M pont - egy vektor. levonni a rögzített koordinátarendszer, hogy az O pont M.
,
ahol - az egység vektorok tengelyek mentén x, y, z.

Amikor mozgását egy pont koordinátáit idővel változni. Azaz, ezek funkciói időben. Ezután az egyenletrendszert
(1)
Meg lehet tekinteni, mint egy egyenlet a görbe által meghatározott paraméteres egyenleteket. Egy ilyen görbe a pályája egy pont.

A pályája egy anyagi pont - ez a vonal, amely mentén a mozgás a ponton történik.

Ha a mozgás egy pont a síkon, akkor válassza ki a tengelyt, és a koordináta-rendszer oly módon, hogy azok síkjában. Ezután a pálya határozza meg a két egyenletet

Egyes esetekben ezek az egyenletek megszünteti az időt. Ekkor az egyenlet a pálya lesz a kapcsolat a következő formában:
.
ahol - a funkciót. Ez a függőség csak a változók és. Nem tartalmaz paramétert.

A sebesség az anyag pont

Sebesség anyagi pont - ez egy származéka a sugár vektor idő tekintetében.

A meghatározás szerint, a sebesség és a meghatározást származék:

A származékok adott időben, a mechanika, jelölésére dot fölött egy szimbólum. Mi helyettesíti a kifejezés a sugár vektor:
.
ahol egyértelműen azonosítható a függőség a koordinátákat az idő. kapjuk:

- sebesség vetítés a koordináta tengelyen. Ezeket úgy állítjuk elő, időben differenciálásával rádiuszvektorhoz komponens
.

így
.
fordulatszámú készülék:
.

Az érintő a röppálya

Egy matematikai szempontból, az egyenletrendszert (1) lehet tekinteni, mint egy egyenlet egy vonal (görbe) által meghatározott paraméteres egyenleteket. Time. Egy ilyen elemzés azt szerepét játssza egy paramétert. Természetesen a matematikai analízis azt tudjuk, hogy az irányvektor az érintő ezen görbe a következő elemekből áll:
.
De ez része a sebességvektor a pont. Ez a sebesség a lényeg anyag érintőleges a pályáját.

Az érintőleges pályán a pont

Mindez közvetlenül igazolható. Tegyük fel, hogy időben tárolt ponttal abban a helyzetben a sugár vektor (lásd. Ábra). És abban az időben - abban a helyzetben, a sugár vektor. Keresztül a pontokat, és húzzon egy vonalat. A definíció szerint az érintő - ez a vonal. Úgy célja egyenesen.
Bemutatjuk a jelölés:
;
;
.
Ezután a vektort irányul a vonal mentén.

At törekvés. Közvetlen hajlamos az érintő. és a vektor - a sebessége időpontban.
.
Mivel a vektor irányítja a vonal mentén. és a sort. A sebességvektor irányul mentén érintő.
Azaz, a sebességvektor az anyag pont mentén irányul érintő a pályához.

Bemutatjuk az érintő irányvektorát egység hossza:
.
Megmutatjuk, hogy a hossza a vektor egyenlő eggyel. Sőt, mivel
. akkor:
.

Ezután a sebességvektor a pont is képviselteti magát:
.

Továbbá úgy gondoljuk, hogy ha a levél a vektor mennyiség nem egy nyíl, azt jelzi egységvektor.

Gyorsítás az anyag pont

Gyorsulását anyagi pont - ez a származék az idő függvényében arány.

Hasonlóan az előzőekhez, kapjuk gyorsulás komponensek (gyorsulás vetülete a koordinátatengelyek):
;
;
;
.
gyorsulás modul:
.

Tangenciális (tangens) és a normál gyorsulás

Most azt a kérdést, az irányt a gyorsulásvektor tekintetében a pályáját. Ehhez alkalmazzuk a képlet:
.
Mi különbözteti meg időben, alkalmazva a szabály különbségtétel a termék:
.

Vektor mentén irányul érintő a pályához. Milyen irányban irányította a derivált időt.

Ahhoz, hogy erre a kérdésre válaszolni, akkor használja a tény, hogy a vektor hosszának állandó és egyenlő egységre. Ezután a tér hossza is egyenlő egység:
.
Itt és az alábbiakban, két vektor zárójelben jelöljük skalár szorzata vektorok. Megkülönböztetünk ez az egyenlet az idő függvényében:
;
;
.
Mivel a dot termék két vektor és a nullával egyenlő, akkor a vektorok merőleges egymásra. Mivel a vektor mentén irányul érintő a úton, akkor a vektor merőleges a tangens.

Az első komponens nevezik érintőleges vagy tangenciális gyorsulás:
.
A második komponens az úgynevezett normál gyorsulás:
.
Ezután a teljes gyorsulás:
(2).
Ez a képlet képvisel bomlási gyorsulást két kölcsönösen merőleges komponenseket - érintő a röppálya és merőleges a tangens.

Tangenciális (tangens) Gyorsítás

Szorzása egyenlet mindkét oldalát (2) a skalár termék.
.
Mert. akkor. majd
;
.
Itt tesszük:
.
Ez azt mutatja, hogy a tangenciális gyorsulás egyenlő a gyorsulás a teljes vetítési az irányt a érintő a röppálya, vagy ezzel ekvivalens, az irányt a sebessége a pontot.

Tangenciális (tangens) gyorsulás a anyagi pont - ez a vetülete a teljes gyorsulás képest érintőleges irányban a trajektória (vagy irányt a sebesség).

Symbol jelöljük a vektor tangenciális gyorsulás mentén irányul érintő a pályához. Ezután - ez egy skalár mennyiség megegyezik a vetülete a teljes gyorsulás irányába az érintő. Ez lehet pozitív vagy negatív.

Helyettesíti a képlet:
.
majd:
.
Ez a tangenciális gyorsulás az idő származéka modulusa a sebesség pont. Így a tangenciális gyorsulás változását okozza az abszolút értéke a sebesség pont. Növekvő sebességgel, a tangenciális gyorsítási pozitív (vagy irányított mentén sebesség). Amikor sebességének csökkentésére a tangenciális gyorsítási negatív (vagy az ellenkező irányított sebesség).

A görbületi sugár a pálya

Most megvizsgáljuk a vektor.

A görbületi sugár a pálya

Tekintsük az egység vektor érintő a pálya. Tedd vissza eredetét a koordináta-rendszer. Aztán a végén a vektor lesz a készülék szférában. Amikor a mozgás egy részecske, a végén a vektor mozoghat ezen a területen. Ez azt jelenti, forogni fog körül az eredetét. Hagyja, - a pillanatnyi szögsebesség-vektora egy időben. Ezután annak származékát - a sebessége a végén a vektor. Ez merőleges a vektorba. Alkalmazzuk a képlet egy forgó mozgás. vektor modul:
.

Most tekintsük a helyzetét egy kérdésben két közeli pillanatok alatt. Tegyük fel, hogy időpont van beállítva. és egy időben - az állam. Hagyja - az egység vektorok irányított mentén érintő a pályára ezeken a pontokon. Keresztül a pontokat, és felhívni a síkjára merőleges vektorok és. Let - egy egyenes vonal által alkotott metszéspontja ezeket a gépeket. Ponttól csepp egy merőleges vonalat. Ha a pozíciókat a pont elég közel vannak egymáshoz, a mozgás a lényeg lehet tekinteni, mint a sugár körüli forgás tengelye körül. melyik lesz a pillanatnyi forgástengely az anyag pont. Mivel a vektorok és merőlegesek a síkok és. a szög a két sík között egyenlő a közötti szög vektorok és. Aztán a pillanatnyi forgási sebessége egy pont körül a forgástengely egyenlő a pillanatnyi sebesség vektor.
.
Itt - a pontok közötti távolság és.

Így találtunk egy modul származék vektor időt.
.
Mint azt már korábban jeleztük, a vektort merőleges vektor. A fenti tárgyalásból nyilvánvaló, hogy ez irányul az utat a pillanatnyi görbületi középpontja. Ez az irány az úgynevezett elsődleges normális.

normál gyorsítás

mentén irányul vektort. Mint láttuk, ez a vektor merőleges érintő a oldalon a pillanatnyi görbületi középpontja a pálya.
Legyen - egy egységet vektor irányított olyan anyagból pontja egy pillanatnyi görbületének középpontjában az út (mentén a fő normál). majd
;
.
Mivel mind a vektor, és ugyanabban az irányban - felé görbületi középpontja a pálya,
.

Tól képletű (2) van:
(4).
A (3) képlet találunk normál gyorsulás modul:
.

Szorzása egyenlet mindkét oldalát (2) a skalár termék.
(2).
.
Mert. akkor. majd
;
.
Ez azt mutatja, hogy a normál gyorsulás modulus vetülete a teljes gyorsulás irányába a fő normális.

Normál gyorsulás egy anyagi pont - a vetülete teljes gyorsulás a merőleges irány a pályaérintőhöz.

Mi helyettesíti. majd
.
Azaz, a gyorsulás változást okoz az irányt a sebesség pont, és ez együtt jár a görbületi sugara a pálya.

Innen megtalálja a görbületi sugara a pálya:
.

Összefoglalva, megjegyezzük, hogy a (4) képlet átírható az alábbi formában:
.
Itt fogjuk alkalmazni a képlet a szorzat a három vektor:
.
melyet keretes
.

Így van:
;
.
Mi egyenlőségjelet modulok bal és jobb oldalán:
.
De a vektorok és kölcsönösen merőlegesek egymásra. ezért
.
majd
.
Ismert a differenciál geometria képlet görbületét a görbe.