Kovariancia és korreláció
Milyen gyakran hallotta a nyilatkozatokat, amely kimondja, hogy egy jelenség összefüggésben van a többi?
„Magas növekedése korrelál a jó oktatás és a boldogság, elismert szakértők Gallup szociológiai szolgáltatást.”
„Az olaj ára korrelál az árfolyam.”
„A fájdalom az izmokban edzés után nem korrelál hipertrófia az izomrostok.”
Az embernek az a benyomása, hogy a „korreláció” már széles körben használják nemcsak a tudomány, hanem a mindennapi életben. A korrelációs tükrözi fokú lineáris kapcsolat két véletlenszerűen. Például, ha az olaj ára csökkenni kezd, a dollár árfolyam ellen rubel növekedni kezd.
Valamennyi fent arra lehet következtetni, hogy a leírásban a kétdimenziós valószínűségi változók nem elég olyan jól ismert tulajdonságokkal rendelkeznek, mint a várakozás, variancia, szórás. Ezért gyakran használják őket két nagyon fontos jellemzői: kovariancia és korreláció.
Covariance $ cov \ left (X, \ Y \ right) $ valószínűségi változók $ X $ és $ Y $ egy matematikai elvárás a termék véletlen változók $ XM \ left (X \ right) $ és $ YM \ left (Y \ right) $ , azaz:
Célszerű kiszámítani a kovariancia valószínűségi változók $ X $ és $ Y $ a következő képlet szerint:
amely beszerezhető az első képlet, a tulajdonságok használatával, a várakozás. Sorolja alapvető tulajdonságait kovariancia.
1. Covariance véletlen változó önmagában a diszperzió.
2. Kovariancia szimmetrikus.
$$ cov \ left (X, \ Y \ right) = cov \ left (Y, \ X \ jobbra). $$
3. Ha a valószínűségi változók $ X $ $ Y $ és független, akkor:
4. A konstans tényező lehet venni, mint egy jel kovariancia.
$$ cov \ left (CX, \ Y \ right) = cov \ left (X, \ cY \ right) = c \ cdot cov \ left (X, \ Y \ jobbra). $$
5. Covariance nem változik, ha az egyik véletlen változók (vagy két közvetlenül) egy konstans mennyiség:
$$ cov \ left (X + c, \ Y \ right) = cov \ left (X, \ Y + c \ right) = cov \ left (X + x, \ Y + c \ right) = cov \ left ( X, \ Y \ jobbra). $$
6. $ cov \ bal (ax + b, \ cY + d \ right) = AC \ cdot cov \ left (X, \ Y \ right) $.
9. A változás az összeg (különbség) véletlen változók összegével egyenlő az eltérések, plusz (mínusz) kétszer kovariancia ilyen valószínűségi változók:
$$ D \ left (X \ pm Y \ right) = D \ left (X \ jobb) + D \ left (Y \ right) \ pm 2cov \ left (X, \ Y \ jobbra). $$
1. példa. Dana megfelelési táblázatot véletlen vektor $ \ left (X, \ Y \ right) $. Számoljuk ki a kovariancia $ cov \ left (X, \ Y \ right) $.
$ \ Begin
\ hline
X \ visszaperjel Y - -6 - 0 - 3 az \\
\ hline
-2-0,1 - 0-0,2 \\
\ hline
0 - 0,05 - P_ - 0 \\
\ hline
1 - 0 - 0,2-0,05 \\
\ hline
7-0,1 - 0-0,1 \\
\ hline
\ End $
Események $ \ left (X = x_i, \ Y = y_j \ right) $ alkotnak komplett esemény csoport, így az összeg minden valószínűség $ P_ $, hogy a táblázatban megadott egyenlőnek kell lennie 1 Ezután $ 0,1 + 0 + 0,2 + 0,05 + P_ + 0 + 0 + 0,2 + 0,05 + 0,1 + 0,1 + 0 = 1 $, így $ P_ = 0,2 $.
$ \ Begin
\ hline
X \ visszaperjel Y - -6 - 0 - 3 az \\
\ hline
-2-0,1 - 0-0,2 \\
\ hline
0-0,05 - 0,2-0 \\
\ hline
1 - 0 - 0,2-0,05 \\
\ hline
7-0,1 - 0-0,1 \\
\ hline
\ End $
A képlet $ Pi = \ sum _p_ $, keresse meg a számát eloszlása a véletlen változó $ X $.
$ \ Begin
\ hline
X - -2 - 0. - 1-7 \\
\ hline
p_i - 0,3-0,25 - 0,25-0,2 \\
\ hline
\ End $
$$ M \ left (X \ right) = \ sum ^ n _ = - 2 \ cdot 0,3 + 0 \ cdot 0,25 + 1 \ cdot 0,25 + 7 \ cdot 0,2 = 1,05 $. $
A képlet $ q_ = \ sum _p_ $, megtaláljuk a szám szerinti eloszlásának valószínűségi változó $ Y $.
$$ M \ left (Y \ right) = \ sum ^ n _ = - 6 \ cdot 0,25 + 0 \ cdot 0,4 + 3 \ cdot 0,35 = -0,45 $$.
Mivel $ P \ left (X = -2, \ Y = -6 \ right) = 0,1 \ ne 0,3 \ cdot 0,25 $, akkor a valószínűségi változók $ X, \ Y $ függ.
Mi határozza meg a kovariancia $ TAK \ \ left (X, \ Y \ right) $ valószínűségi változók $ X, \ Y $ képlet $ cov \ left (X, \ Y \ right) = M \ left (XY \ right) -M \ bal (X \ right) M \ left (Y \ right) $. A matematikai elvárás a termék véletlen változók $ X, \ Y $ jelentése:
$$ M \ left (XY \ right) = \ sum_x_iy_j> = 0,1 \ cdot \ left (-2 \ right) \ cdot \ bal (-6 \ right) +0,2 \ cdot \ left (-2 \ jobbra) \ cdot 3 + 0,05 \ cdot 1 \ cdot 3 + 0,1 \ cdot 7 \ cdot \ left (-6 \ right) +0,1 \ cdot 7 \ cdot 3 = -1,95. $$Ezután $ cov \ left (X, \ Y \ right) = M \ left (XY \ right) -M \ left (X \ right) M \ bal (Y \ right) = - 1,95-1,05 \ cdot \ left (-0,45 \ right) = -. 1,4775 $ Ha a valószínűségi változók függetlenek, akkor a kovariancia nulla. Esetünkben $ cov (X, Y) \ ne 0 $.
A korrelációs együttható a valószínűségi változók X $ $ és $ Y $ a szám:
Mi listát alapvető tulajdonságait korrelációs együttható.
3. $ \ rho \ left (X, \ Y \ right) = 0 $ független véletlen változók $ X $ és $ Y $.
6. $ \ left | \ rho \ left (X, \ Y \ right) \ right | = 1 \ Leftrightarrow y = ax + b $.
Korábban azt mondta, hogy a korrelációs együttható $ \ rho \ left (X, \ Y \ right) $ tükrözi fokú lineáris kapcsolat két véletlen változó $ X $ és $ Y $.
Ha $ \ rho \ left (X, \ Y \ right)> 0 $ lehet következtetni, hogy a növekedés a véletlen változó $ X $ véletlen változó $ Y $ növeli. Ez az úgynevezett pozitív korreláció. Például, magassága és súlya a személy kapcsolódó pozitív korrelációt.
Ha $ \ rho \ left (X, \ Y \ right)<0$ можно сделать вывод о том, что с ростом случайной величины $X$ случайная величина $Y$ имеет тенденцию к уменьшению. Это называется отрицательной корреляционной зависимостью. Например, температура и время сохранности продуктов питания связаны между собой отрицательной корреляционной зависимостью.
Ha $ \ rho \ left (X, \ Y \ right) = 0 $ valószínűségi változók $ X $ és $ Y $ korrelált. Érdemes megjegyezni, hogy az egymással nem véletlen változók $ X $ és $ Y $ nem azt jelenti, hogy a statisztikai függetlenség csak annyit, hogy van lineáris kapcsolat közöttük.
2. példa. Határozza meg a korrelációs koefficiens $ \ rho \ bal (X, \ Y \ right) $ kétdimenziós véletlen változó $ \ bal (X, \ Y \ right) $ 1. példa.
A korrelációs együttható a valószínűségi változók $ X, \ Y $ egyenlő $ R_ = = = -0134. $ Mivel $ R_<0$, то с ростом $X$ случайная величина $Y$ имеет тенденцию к уменьшению (отрицательная корреляционная зависимость).