Lecke - egyenlete érintő a függvény grafikonját

Rövid leírása a dokumentum:

Ezután egy példa a rajz egy érintő egyenlet alábbi rendszert. Tekintettel a függvény az y = x 2 x = -2. Miután a = 2, úgy találjuk, a függvény értéke a ponton f (a) = f (-2) = (- 2) 2 = 4. Mi határozza meg a függvény deriváltját f (x) = 2x. Ezen a ponton, a származék megegyezik az f (a) = f (-2) = 2 + (-2) = - 4. Made by minden együttható az egyenlet találtak és = -2, f (a) = 4, f (a) = - 4, tehát az egyenlet az érintő y = 4 + (- 4) (x + 2). Egyszerűsítése az egyenletet, megkapjuk az y = -4-4h.

A következő példa szolgál egyenlővé érintőjének az eredete a függvény grafikonját y = TGX. Ezen a ponton, a = 0, F (0) = 0, f (x) = 1 / cos 2 x, f (0) = 1. Így, az egyenlet a tangense y = x.

Mint általánosítása összeállításának folyamata az egyenlet, hogy a grafikon tangens egy ponton történik formájában egy algoritmus, amely 4 lépésből áll:

• Bemutatjuk a jelölést és az abszcissza az érintési pontok;
• Kiszámított F (a);
• Határozza meg az f (x) és a kiszámított F (a). A képletben az érintő egyenlet y = f (a) + F (a) (x-a), és a kapott értékeket szubsztituált, f (a), f (a).

Az 1. példa előállítására egyenletek az érintő a függvény grafikonját y = 1 / x x = 1. Hogy oldja meg a problémát az algoritmus. Egy adott funkciót a ponton a = 1, az f (a) = - 1. A függvény deriváltját f (x) = 1 / x 2. 1 a pont = a-származékot f (a) = f (1) = 1. A kapott adatok alkalmazásával, egy húzott érintő egyenlet y = -1 + (1-x), vagy az y = x-2.

A 2. példában meg kell találni az egyenlet az érintő a függvény grafikonját y = x 3 + 3x 2 -2x-2. Ennek legfőbb feltétele - az érintő és a vonal az y = -2x + 1. Először is, azt látjuk, a lejtőn az érintő egyenlő a szögletes együttható y = -2x + 1. Mivel f (a) = - 2 ebben a sorban, akkor k = -2 és a szükséges tangens. Azt találjuk, a függvény deriváltját (x 3 + 3x 2 -2x-2) = 3x 2 + 6x-2. Ismerve, hogy a f (a) = - 2 találunk a pont koordinátáit 3a-6a + 2 2 = -2. Egyenletet megoldva az, kapjuk a1 = 0, A2 = -2. A kapott koordinátákat, az egyenlet a tangens megtalálható használatával ismert algoritmus. Megtaláljuk a függvény értékét pontban f (a1) = - 2, f (a2) = - 18. Az érték a származék a f pont (a1) = f (a2) = - 2. Behelyettesítve eredményeket az egyenletben az érintő értékek, megkapjuk az első pont a1 = 0, y = -2x-2, és a második pont a2 = -2 tangens egyenlet y = -2x-22.

3. példa előállítását ismerteti az egyenlet az érintő annak elvégzésére a ponton (0, 3), hogy a grafikon y = √x. A döntést egy ismert algoritmus. A fogási pontot a koordinátái x = a, ahol a> 0. Az érték a függvény a ponton f (a) = √x. A függvény deriváltját f (x) = 1 / 2√h, így ezen a ponton a f (a) = 1 / 2√a. Behelyettesítve minden érték az egyenletben az érintő kapjunk √a + y = (X-a) / 2√a. Átalakítása egyenletet, megkapjuk az y = x / 2√a √a + / 2. Annak ismeretében, hogy az érintő átmegy a ponton (0, 3), azt találjuk, hogy az érték a. És megtudja √a = 3/2. Ezért √a = 6, a = 36. Találunk az egyenlet az érintő y = x / 12 + 3. Az ábra egy függvény grafikonját és kivitelezése a szükséges érintőleges.

A diákok felidézni közelítő egyenlőség δy = ≈f (x) δxi f (x + dx) -f (x) ≈f (x) Ax. Feltételezve, hogy x = a, x + dx = x, x = x-egy, azt kapjuk, f (x) - f (a) ≈f (a) (x-a), így az f (x) ≈f (a) + f (a) (x-a).

A 4. példában, kell találni egy közelítő értéke a kifejezés 2.003 6. Mivel szükséges, hogy megtalálják a értéke az f (x) = x 6 pontnál x = 2,003, tudjuk használni a jól ismert képlet, figyelembe f (x) = x = 6 és 2, F ( a) = f (2) = 64, f (x) = 6x 5. A származék f pont (2) = 192. Ezért 2.003 6 ≈65-192 · 0003. A számításnál a kifejezés, megkapjuk 2.003 6 ≈64,576.

Tudjuk, hogy ha az M pont (A; f (A)) (um koordinálja és Aeff az a) tartozik a függvény grafikonját y = f (x), és ha ezen a ponton, hogy a grafikon a funkció felhívni a tangense nem merőleges a tengelyre abszcissza, a lejtőn a tangense egyenlő f „(a) (EHA bárban egy).

Tegyük fel, hogy a függvény az y = f (x) és egy M pont (a, f (a)), egy jól ismert, hogy f '(a). Mi konstrukció az egyenlet a érintő a grafikon adott funkció egy adott pontban. Ez az egyenlet, mint egyenlet bármilyen vonal nem párhuzamos az ordináta tengelyen a y = kx + m (y egyenlő X plusz ka um), így a kihívás az, hogy megtaláljuk a az együtthatók k és m. (Ka és um)

Szög együttható k = f „(a). Kiszámításához m értékek használjuk az a tény, hogy a megfelelő vonalat áthalad az M pont (a, f (a)). Ez azt jelenti, hogy, ha helyettesíteni pont koordinátái M az egyenletben a vonal, szerezni a megfelelő egyenletet: f (a) = ka + m, ahol azt találjuk, hogy m = f (a) - ka.

Továbbra is helyettesítheti a kapott értékeket az együttható k és MW egyenes egyenlete:

y = kx + (f (a) -ka);

Mi kapott egyenlet az érintő a grafikon y = f (x) x = a.

Ha, mondjuk, y értéke 2 és X = 2 (azaz, a = -2), akkor f (a) = f (-2) = (-2) 2 = 4; f '(x) = 2, akkor, f '(a) = f'(- 2) = 2 + (-2) = -4. (Ef a négy is, ef bar X X egyenlő két, majd eff bár, valamint a mínusz négy)

Behelyettesítve eredmények Az egyenletben az értékek a = -2, f (a) = 4, F „(a) = -4, megkapjuk: y = 4 + (- 4) (x + 2), azaz a y = -4H-4.

(Y egyenlő X mínusz négy vagy mínusz négy)

Construct az egyenlet az érintő a függvény grafikonját y = TGX (y egyenlő a tangensét X) a származási. Van: a = 0, F (0) = tg0 = 0;

f „(x) =. Ez azt jelenti, F „(0) = l. Behelyettesítve eredményeket az egyenletben értékeit = 0, F (a) = 0, F '(a) = 1, megkapjuk: y = x.

Az alábbiakban összefoglaljuk a lépéseket a megállapítás a egyenlete érintő a függvény grafikonját az x pontban egy algoritmus.

Algoritmusa EQUATION érintő a függvény grafikonját y = f (x):

1) jelöli az abszcissza a érintési pontján a levél egy.

2) Számítsuk f (a).

3) Keresse f '(x) és kiszámítja f' (a).

1. példa létrehozása egyenletét érintő a függvény grafikonját y = - egy

Határozat. Az általunk használt algoritmust, tekintettel arra, hogy ebben a példában

2) f (a) = f (1) = - = -1

3) f '(x) =; f '(a) = f' (1) = 1.

4) Behelyettesítve eredmények három szám: a = 1, f (a) = -1, f „(a) = 1 képletben. Beszerzése -1+ y = (x-1), y = x-2.

Válasz: y = x-2.

2. példa megadott függvény az y = x 3 + 3x 2 -2x-2. Record egyenlete az érintő a függvény grafikonját y = f (x), amely párhuzamos az egyenes vonal az y = -2x + 1.

Használata az algoritmus a egyenlet rajz tangens figyelembe venni, hogy ebben a példában, f (x) = x 3 + 3x 2 -2x-2. de ez nem szerepel abszcissza tapintási pontot.

Elkezdjük így beszélni. Kedvelt párhuzamosnak kell lenniük az érintő y = -2x + 1. A párhuzamos vonalak azonos lejtőn tényező. Ennélfogva, a lejtőn a tangense egyenlő a meredeksége az adott sorban: kkas. = -2. Hokkas. = F „(a). Így, az értéket és találunk az egyenletet f „(a) = -2.

A következő egyenletből az F „(a) = -2, azaz 3a, 6a-2 + 2 = -2 megtalálják a1 = 0, A2 = -2. Tehát, van két érintőt kielégíti feladat: az egyik azon a ponton, a abszcissza 0, és a másik azon a ponton a abszcissza -2.

Most lehet működtetni az algoritmus alapján.

2) f (a1) = 3 + 0 · 0 2 3 -2 ∙ 0-2 = -2; f (a2) = (- 2) 3 + 3 + (-2) · 2 -2 (-2) -2 = 6;

4) Behelyettesítve értékek a1 = 0, F (a1) = -2, F „(a1) = -2 a képletben, megkapjuk:

Behelyettesítve a értékek a2 = -2, F (a2) = 6, f „(A2) = -2 a képletben, megkapjuk:

Válasz: y = -2x-2, y = -2x + 2.

Példa 3. pontja (0, 3) egy érintőleges a grafikont a funkció y =. Határozat. Az általunk használt algoritmust rajz tangens egyenletet, tekintettel arra, hogy ebben a példában, f (x) =. Megjegyezzük, hogy itt, mint a 2. példában, az abszcisszán nincs kifejezetten megadva tapintási pontot. Azonban mi jár a algoritmust.

1) Legyen x = a - abszcissza az érintési pont; egyértelmű, hogy a> 0.

3) f '(x) = ()' =; f '(a) =.

4) Behelyettesítve az értékeket a, f (a) =. f „(a) = általános képletben

y = f (a) + F „(a) (x-a). kapjuk:

A tangens állapotban áthalad a ponton (0, 3). Behelyettesítve az értékeket az x = 0, y = 3, kapjuk: = 3. és a további = 6, a = 36.

Mint látható, ebben a példában, csak a negyedik lépésben az algoritmus sikerült megtalálni az abszcissza az érintési pont. Behelyettesítve az érték egy = 36 az egyenletben, megkapjuk: y = + 3

Ábra. Az 1. ábra egy geometriai illusztrálja a fenti példa: által épített grafikon y =, az egyenes y = 3.

Tudjuk, hogy a függvény y = f (x), amelynek egy származékát egy X pontban, a következő közelítő egyenlet: δyf”(x) dx (delta y körülbelül egyenlő EF bar X szorozva Delta X)

vagy több, f (x + dx) -f (x) f '(x) dx (Aeff X plusz Delta X X mínusz EHA eff közelítőleg egyenlő az X bárban Delta X).

Az egyszerűség kedvéért a további vita megváltoztatjuk a jelölés:

írunk egy helyett x,

helyett x írási x + δxbudem

írunk x helyett SH.

Ezután írva a fenti közelítő egyenlet:

f (x) f (a) + F '(a) (x-a). (X eff hozzávetőleg egyenlő EHA EHA a plusz löketének egy, szorozva a különbség XS és a).

4. példa Find közelítő értéke egy numerikus kifejezés 2.003 6.

Határozat. Arról van szó, hogy megtaláljuk a függvény értékei az y = x 6 x = 2,003. A képlet az f (x) f (a) + F '(a) (Xa), figyelembe véve, hogy ebben a példában, f (x) = x 6. a = 2, f (a) = f (2) = 2 6 = 64; = 2,003 x, f '(x) = 6x 5, és így, F' (a) = f „(2) = 2 6 × 5 = 192.

Ennek eredményeképpen megkapjuk:

2,003 6 64 + 192 · 0,003, azaz a 2.003 6 = 64,576.

Ha használja a számológép, megkapjuk:

2.003 6 = 64,5781643.

Mint látható, a közelítés pontossága teljesen elfogadható.

Válasz: 2003 6 = 64,576.