Távolság a matematika - az

A hivatalos meghatározás

A metrikus tér egy sor M pontok távolságban funkció (más néven a metrikus) (ahol jelentése a valós számok halmaza). Minden pont x, y, z M ezt a funkciót meg kell felelniük az alábbi feltételeknek:

1. (Identity axióma).
2. d (x, y) = d (y, x) (axiómával szimmetria).
3. (Háromszög axióma vagy a háromszög egyenlőtlenség).

Ezek az axiómák tükrözik az intuitív fogalma távolságot. Például, a távolság kell lennie, nem-negatív, azaz (ez következik a háromszög egyenlőtlenség ha z = x) és a távolság a x-y megegyezik, és a y és x. A háromszög-egyenlőtlenség azt jelenti, hogy menjen a X-Z rövidebb is lehet, vagy legalábbis nem hosszabb, mint az első lépés x-y. majd a y-z.

elnevezések

Jellemzően, a pontok közötti távolság az x és y egy metrikus térben jelöljük M

• A diszkrét metrikus. d (x, y) = 0. Ha x = y. és d (x, y) = 1 minden más esetben.

• A valós számok a távolság függvényében d (x, y) = | y - x | Euklideszi térben és teljes metrikus terek.

• A Manhattan vagy város metrikus: koordinátarendszerben, amely távolság meghatározása a távolságok összege közötti koordinátákat. Még általánosabban: bármely normált teret lehet alakítani egy metrikus, meghatározó a távolság függvényében, abban az esetben, véges dimenzióban nevezzük Minkowski-téren [1] (nem tévesztendő össze a másik Minkowski tér).

• Az úgynevezett francia vasúti metrikus egy példa, amely gyakran idézett példa a mutató nem keletkezik norma.

• Bármely csatlakoztatott Riemann gyűjtőcső M, át lehet alakítani egy metrikus térben, meghatározzuk a távolság, mint a infimum hosszának a pályák összekötő egy pár pontot.

• Bármilyen csúcsok halmaza csatlakoztatott G gráf lehet alakítani egy metrikus tér, meghatározzuk a távolság, mint a minimális számú élek az utat csúcsokat összekötő.

• A több kompakt részhalmaza K (M) bármely metrikus tér M, át lehet alakítani egy metrikus térben, meghatározzuk távolságok használatával egy úgynevezett Hausdorff metrikus. Ebben a két mutató alcsoportok közel vannak egymáshoz, ha bármelyik halmaz közelében található az a pont, a többi részét. Itt van egy pontos meghatározás:

• A készlet minden kompakt metrikus tér (akár isometry) lehet alakítani egy metrikus tér, meghatározzuk távolságok használatával egy úgynevezett metrikus Gromov - Hausdorff.

kapcsolódó meghatározás

• A metrikus tér hívják teljes. ha az alapvető szekvencia konvergál néhány elem a tér.
• A metrikus d az M nevezzük belső. ha bármely két pont az x és y M lehet csatlakoztatni a hossza egy görbe tetszőlegesen közel van d (x, y).
• Bármilyen metrikus térben természetes topológia. amelynek alapja az a sor nyílt golyót. azaz szett a következő típusú:

, ahol x egy pont M és r - egy pozitív valós szám az úgynevezett sugara a labdát. Más szóval, a készlet O nyitva van, ha bármely ponton létezik egy pozitív szám r. oly módon, hogy több pontot a parttól kevesebb, mint az r a x tartozik O.

• Két mutatót, amelyek ugyanazokat topológia egyenértékű.
• A topologikus tér, amely ily módon kapott hívják metriziruemym.
• Rasstoyanied (x, S) a tochkixdo podmnozhestvaS M képlet adja meg:

Ezután, d (x, s) = 0. csak akkor, ha x tartozik a lezárás S.

• Kompakt metrikus tér, ha, és csak akkor, ha bármelyik pontok a szekvencia egy konvergens alszekvencia (szekvenciális tömörség).
• Metrikus tér nem lehet megszámlálható bázis. de mindig kielégíti az első countability axióma - megszámlálható bázis minden ponton.
  • Továbbá minden CD-t a metrikus tér egy megszámlálható szomszédságában található.
  • Továbbá, minden metrikus tér létezik egy adatbázis, amely minden pontján a tér csak egy megszámlálható halmaz eleme - dot megszámlálható bázis (gyengébb, de az ingatlan még a jelenlétében metrizability paracompactness és Hausdorff).

Variációk és általánosítások

Mert ez a készlet, a funkció felhívta pseudometric vagy semimetric ha bármely pont kielégíti az alábbi feltételeket:

Ez azt jelenti, ellentétben a mutatókat különböző pontjain a kanna nulla távolságot. Pseudometric természetesen meghatározza a mutató a hányadosa, ahol.

A metrikus a helyet nevezik ultrametric. ha megfelel az erős háromszög-egyenlőtlenség:

Minden, valamint.

Néha úgy mutatókat megfelelő értékekkel tér nevezett metrikus tér. végleges mutatókat lehet tekinteni metrikus vagy ilyen. Ezek metrikus terek topológiája azonos.

Moris Freshe először a koncepció egy metrikus tér [2] kapcsolatban a funkcionális terek.

jegyzetek

1. ↑ K. Leyhtveys, konvex halmazok Definíció 11.2
2. ↑ M. Fréchet, Sur Quelques rámutat du számbavit fonctionnel. Rendic. Circ. Mat. Palermo 22 (1906) 1-74,

Lássuk mi „távolság a matematika” más szótárak:

Koordináták (matematikai) - koordináták (. Lat CO együtt, és rendelt ordinatus meghatározva), számkiosztással határozza meg a pont pozícióját a gépen a felszínen, vagy a térben. Téglalap (derékszögű) koordináta pontok a síkon ... ... kollégiumi szótár

Plane (matematika) - Két metsző sík sík egyik alapvető fogalmak geometria. A rendszeres koncepció bemutatása sík geometria általában feltételezzük egyik alapvető fogalmak, amelyek csak közvetve határozzák axiómák a geometria ... Wikipedia

Focus (matematika) - kúpszeletek: kör, ellipszis, parabola (szakasz párhuzamos síkban kúp), túlzás. Kúpos vagy kúpszelet a kereszteződés egy síkban egy kör alakú kúpos. Három fő típusa a kúpszeletek: ellipszis, ... ... Wikipedia

Koordináták matematika - értékek, amelyek meghatározzák a pont pozícióját. A K. Descartes-féle derékszögű helyzetben határozza meg három pontot való távolsága három egymásra merőleges síkban; a kereszteződés ezen síkok három egyenes jön ki a ... ... Collegiate Dictionary FA Brockhaus és IA Efron

Koordináták, a matematika - értékek, amelyek meghatározzák a pont pozícióját. A K. Descartes-féle derékszögű helyzetben határozza meg három pontot való távolsága három egymásra merőleges síkban; a kereszteződés ezen síkok három egyenes jön ki a ... ... Collegiate Dictionary FA Brockhaus és IA Efron

Levenshtein Distance - (szerkesztői is módosíthatja a távolság vagy a távolság) két sztring információs elmélet és a számítógépes nyelvészet a minimális számú betoldások egy szimbólum, egy szimbólum törlése és cseréje egy szimbólum ... ... Wikipedia

Technológia és tudomány Európában a második felében a XVII és XVIII. - A tudomány a második felében a XVII. A végső győzelmet a heliocentrikus rendszer, a Galileo dinamika és derékszögű fizika (azaz. E. A fizika Descartes és követői). Összehasonlítva az első felében a XVII században. tudományos megértése a világ sok tekintetben ... ... World History. enciklopédia

Euklideszi távolság - A matematika, a kifejezés euklideszi tér jelenthet egy hasonló és szorosan kapcsolódó tárgyak: Mindkét esetben, az n-dimenziós euklideszi tér általában jelzi. Bár nem gyakran egészen elfogadható megnevezést. 1. ... ... Wikipedia

• Minden matematika szabályai általános iskolások számára. Kruglov A. A könyv tartalmazza az összes fő témája a matematika, tanult az általános iskolában: „A számok és számok”, „számtani”, „egységek”, „Speed. Time. Távolság „” Geometriai ... Tovább Vásárlás 320 rubelt
• Minden matematika szabályai általános iskolások számára. A. Kruglov. A könyv tartalmazza az összes fő témája a matematika, tanult az általános iskolában: „A számok és számok”, „számtani”, „egységek”, „.. Speed ​​időbeli távolság”, „Geometriai ... Tovább Vásárlás 209,3 rubelt
• Példák metrikus terek. VA Skvortsov. A matematikában gyakran tekintik között beállítható elemek (pontok) határozza meg a távolságot (metrikus). Az ilyen készletek úgynevezett metrikus teret, ha végre ... Bővebben Vásárlás 103 UAH (Ukrajna esetében)

Egyéb könyvek igény „Távolság a matematika” >>