Az egyenlet az érintő a függvény grafikonját

34. § Az egyenlet az érintő a grafikon

A § 32 említettük, hogy ha az M pont (a, f (a)) tartozik a függvény grafikonját y = f (x), és ha ezen a ponton, hogy a függvény grafikonját levonhatjuk érintőjének nem merőleges az x tengely, a lejtőn a tangens megegyezik az f „(a). Mi már használta ezt egy párszor. Például, a 33. §, azt találtuk, hogy a függvény grafikonját y = sin x (szinuszhullám) a származási teszi az X-tengely szög 45 ° (pontosabban, egy érintő a grafikon az eredet az a pozitív irányát az x tengely szög 45 °), és a 5. példa § 33 pont találtak a grafikonon megadott függvény. ahol az érintő párhuzamos az abszcissza. A 2. példa, 33. § állt egyenlete érintő a függvény grafikonját y = x 2 x = 1 (pontosabban, azon a ponton, (1, 1), de gyakran csak azt jelzik, az értéke abszcissza, feltételezve, hogy ha az abszcissza érték ismert, akkor a értéke az ordináta megtalálható a y = f (x)). Ebben a részben fejleszteni egy olyan algoritmus kidolgozásának ütemezése egyenlet kasatelnoy.k semmilyen funkciót.

Tegyük fel, hogy a függvény az y = f (x) és egy M pont (a, f (a)), és az is ismert, hogy vannak olyan f „(a). Mi konstrukció az egyenlet a érintő a grafikon adott funkció egy adott pontban. Ez az egyenlet, mint egyenlet bármilyen vonal nem párhuzamos az ordináta tengely az y = kx + m, így a kihívás az, hogy megtaláljuk a az együtthatók k és m.

A lejtőn van egy probléma: tudjuk, hogy a = f „(a). Kiszámításához m értékek használjuk az a tény, hogy a megfelelő vonalat áthalad az M pont (a, f (a)). Ez azt jelenti, hogy, ha helyettesíteni pont koordinátái M az egyenletben a vonal, szerezni a megfelelő egyenletet: f (a) = ka + m, ahol azt találjuk, hogy m = f (a) - ka.
Továbbra is helyettesítheti a talált értékeket bálna együtthatók lineáris egyenlet:

Mi kapott egyenlet az érintő a függvény grafikonját y = f (x) x = a.
Ha, mondjuk,
Behelyettesítve (1) egyenlet, a kapott értékeket a = 1, f (a) = 1, F „(a) = 2, kapjuk: y = 1 + 2 (X-f), azaz y = 2x-1.
Ezt az eredményt azzal, amit kaptunk a 2. példában § 33. Természetesen ez jött ki ugyanaz.
Construct az egyenlet az érintő a függvény grafikonját y = tg x a származási. Van tehát cos X f '(0) = 1 behelyettesítve (1) egyenlet, a kapott értékeket a = 0, F (a) = 0, F' (a) = 1, megkapjuk: y = x.
Ezért töltött tangensoidu a 15. § (lásd. Ábra. 62) a származási szögben 45 ° a vízszintes tengely.
Megoldani ezeket a viszonylag egyszerű példát, akkor ténylegesen használt egy speciális algoritmust, amely be van építve a képletben (1). Nézzük, hogy ez egyértelmű algoritmus.

Algoritmusa EQUATION érintő a függvény grafikonját y = f (x)

1) jelöli az abszcissza a érintési pontján a levél egy.
2) Kiszámítjuk 1 (a).
3) Keresse f '(x) és kiszámítja f' (a).
4) Töltsük a eredményeit a, f (a), (a) általános képletű (1).

1. példa létrehozása egyenletét érintő a függvény grafikonját az x = 1.
Határozat. Az általunk használt algoritmust, tekintettel arra, hogy ebben a példában

Ábra. 126 ábra egy hiperbola. beépített egyenes y = 2.
Rajz számítások kimutatták, megerősíti: valóban, az y = 2 Ami a hiperbola a ponton (1, 1).

A: y = x 2.
2. példa grafikon érintőjének úgy, hogy az párhuzamos legyen a y = 4 - 5.
Határozat. Több pontos megfogalmazása a probléma. A követelmény „érintőleges” általában „hogy az egyenlet az érintő.” Ez logikus, hiszen ha valaki képes arra, hogy dolgozzanak ki az egyenlet az érintő, nem valószínű, hogy ez nehézséget fog okozni az építkezés a síkban egy egyenes vonalat az egyenlete.
Az általunk használt algoritmus elkészítése az egyenlet az érintő, tekintettel arra, hogy ebben a példában, de ellentétben az előző példában, itt van bizonytalanság: nincs kifejezetten megadva abszcissza az érintési pont.
Elkezdjük így beszélni. Kedvelt párhuzamosnak kell lenniük az érintő y = 4-5. Két egyenes párhuzamos, ha és csak akkor, ha szögletes együtthatók. Ennélfogva, a lejtőn a húzott érintő meg kell egyeznie a lejtőn az előre meghatározott egyenes vonal: Így, az érték egy találunk az egyenletet f „(a) = 4.
Van:
Tehát ki az egyenlet, két érintőt kielégítő feladat: az egyik a ponton abszcissza 2, a másik pedig a pont abszcissza -2.
Most lehet működtetni az algoritmus alapján.

Példa 3. pontja (0; 1), hogy az érintő a grafikont
Határozat. Az általunk használt algoritmus elkészítése az egyenlet az érintő, tekintettel arra, hogy ebben a példában, vegye figyelembe, hogy itt is, mint a 2. példában nincs kifejezetten megadva abszcissza az érintési pont. Azonban mi jár a algoritmust.

A tangens állapotban áthalad a ponton (0, 1). Behelyettesítve (2) egyenlet x értékei = 0, y = 1, megkapjuk:
Mint látható, ebben a példában, csak a negyedik lépésben az algoritmus sikerült megtalálni az abszcissza az érintési pont. Behelyettesítve a értéke a = 4 a (2) egyenletnek hozamok:

Ábra. 127 ábra egy geometriai illusztrálja a fenti példa: a kiírt funkció

A § 32 megállapítottuk, hogy a függvény az y = f (x), a származék, amelynek rögzített helyen x, a következő közelítő egyenlet:

Az egyszerűség kedvéért a további vita megváltoztathatja a jelölést: ahelyett, hogy az x és írunk, írunk helyett x és így írunk helyett x-a. Ezután írva a fenti közelítő egyenlet:

És most nézd ábra. 128. Az, hogy egy grafikont a függvény y = f (x) hajtjuk végre egy érintési pont M (a, f (a)). Megjelölt pont x az abszcissza és a közelben. Egyértelmű, hogy az f (x) - a ordináta a megadott x pont. Mi f (a) + f „(a) (x-a)? Ez a tangens ordináta, megegyező x pont - lásd (1) képlet .. Mi az értelme a közelítő egyenlőség (3)? Az a tény, hogy a számítás a közelítő értéke egy függvény értékét véve az ordináta tangens.

4. példa Find közelítő értéke egy numerikus kifejezés 1,02 7.
Határozat. Arról van szó, a megállapítás a függvény értékei y = x 7 x = 1,02. Használata képletű (3), figyelembe véve, hogy ebben a példában
Ennek eredményeképpen megkapjuk:

Ha használja a számológép, megkapjuk: 1,02 7 = 1,148685667.
Mint látható, a közelítés pontossága teljesen elfogadható.
Válasz: 1,02 7 = 1.14.

AG Mordkovich Algebra 10. évfolyam

Ha javításokat és javaslatokat a leckét, kérjük lépjen kapcsolatba velünk.

Ha azt szeretnénk, hogy a többi beállítást és javaslatokat órák, nézd meg itt - Oktatási fórum.