Hogyan készítsünk egy grafikont a másodfokú egyenlet

A grafikon a másodfokú egyenlet formájában ax 2 + bx + c vagy (X - H) 2 + k egy parabola (U-alakú görbe). Ábrázolni ezt az egyenletet meg kell találni a tetején a parabola, az irányt és a metszéspont a tengelyek X és Y. Ha adott egy viszonylag egyszerű másodfokú egyenlet, akkor helyettesítheti a különböző értékeit „x”, megtalálni a megfelelő érték „y”, és felhívni a grafikon .

lépések szerkesztése

Felrajzolásához kell találni a numerikus értékek az együtthatók a, b, c (vagy egy, H, K). A legtöbb probléma másodfokú egyenlet a számértékek az együtthatók.

• Például, a standard egyenletet f (x) = 2x 2 + 16x + 39 a = 2, b = 16, c = 39.
• Például, a nem szabványos egyenletet f (x) = 4 (X - 5) 12 + 2, a = 4, H = 5, K = 12.

Számítsuk ki h egy standard egyenletet (egy nem szabványos, ez már adott) a következő képlet: H = -B / 2a.

• A mi példánkban, a standard egyenletet f (x) = 2x 2 + 16x + 39 h = -B / 2a = -16/2 (2) = -4.
• Ebben a példában, az egyéni egyenletet f (x) = 4 (X - 5) 12 2 + H = 5.

Számítsuk ki a k ​​standard egyenletet (már adott egy nem szabványos IT). Ne feledje, hogy k = f (h), hogy van, megtalálja a k helyett az eredeti egyenlet a kapott értéket h helyett „x”.

• Úgy találja, hogy h = 4 (a szabványos egyenlet). Kiszámításához k helyettesítő ez az érték helyett az „x”:
  • k = 2 (-4) 2 + 16 (-4) + 39.
  • k = 2 (16) - 64 + 39.
  • k = 32-64 + 39 = 7
• Egy nem szabványos egyenlet k = 12.

Alkalmazza felső koordináták (h, k) a koordináta síkon. h ábrázoljuk az X tengelyen, és a K - Y. A tetején a parabola tengely vagy a legalacsonyabb pont (ha parabola mutató felfelé), vagy a legfelső pontja (ha parabola lefelé).

• A mi példánkban, a standard egyenlet csúcs koordinátái (-4, 7). Alkalmazza ezt a pontot a koordináta síkon.
• Ebben a példában az egyéni egyenlet csúcs koordinátái (5, 12). Alkalmazza ezt a pontot a koordináta síkon.

Végezzünk szimmetria tengelye a parabola (nem szükséges). A szimmetriatengely áthalad a csúcsa a parabola párhuzamos Y tengellyel (azaz függőlegesen). A szimmetria tengelye a parabola osztja ketté (azaz, a parabola tükör szimmetrikus képest ezen tengely).

• A mi példánkban, a standard egyenlet szimmetriatengely egy vonal párhuzamos az Y tengelyre, és áthalad az ponton (-4, 7). Bár ez a vonal nem része a parabola is, ez ad egy ötletet a szimmetria a parabola.

Határozzuk parabola iránya - felfelé vagy lefelé. Ez nagyon könnyű csinálni. Ha az együttható „a” pozitív, a parabola felfelé, és ha az együttható „a” negatív, a parabola lefelé irányul.

• A mi példánkban, a standard egyenletet f (x) = 2x 2 + 16x + 39 parabola felfelé mutasson, mint a = 2 (pozitív együttható).
• Ebben a példában, az egyéni egyenletet f (x) = 4 (X - 5) 2 + 12 parabola és felfelé irányított, mint a = 4 (pozitív együttható).

Ha meg kell találni, és alkalmazni kell az X-tengely metszéspontja Ezek a pontok nagyban segít az építőiparban a parabola. Lehet két, egy vagy sem (ha egy parabola felfelé, és amelynek csúcsa felett fekszik az X-tengely, vagy ha a parabola lefelé irányul, és ezért hegye alatt van az X tengely). Koordinátáinak kiszámításához a metszéspontok az X tengellyel, hajtsa végre a következő lépéseket:

• Egyenlővé egyenlet nulla: f (x) = 0, és megoldani azt. Ez a módszer működik, egyszerű másodfokú egyenlet (különösen a nem szabványos típus), de rendkívül nehéz lehet abban az esetben, komplex egyenletek. A mi példánkban:
  • f (x) = 4 (x - 12) 2 - 4
  • 4 = 0 (X - 12) 2 - 4
  • 4 = 4 (x - 12) 2
  • 1 = (X - 12) 2
  • √1 = (X - 12)
  • +/ -1 = x -12. A metszéspontja egy parabola az X tengellyel koordinátái (11,0) és (13,0).
• Spread másodfokú egyenlet a szabványos formában tényezők: ax 2 + bx + c = (dx + e) ​​(fx + g), ahol dx × fx = ax 2. (dx × g + FX × e) = bx, e × g = c. Ezután egyenlővé minden binomiális 0 és megtalálni az értékeket „x”. Például:
  • x 2 + 2x + 1
  • = (X + 1) (x + 1)
  • Ebben az esetben, létezik egy egyedülálló metszéspontja egy parabola az X tengely a koordináták (-1.0), mert ha x + 1 = 0 x = -1.
• Ha nem bontható tényezők egyenletet, úgy dönt, hogy használja a képlet a tér gyökerei az egyenlet: X = (-B +/- √ (b 2 - 4ac)) / 2a.
  • Például: -5x 2 + 1x + 10.
  • X = (-1 +/- √ (január 02-04 (-5) (10))) / 2 (-5)
  • X = (-1 +/- √ (1 + 200)) / - 10
  • X = (-1 +/- √ (201)) / - 10
  • X = (-1 +/- 14,18) / - 10
  • X = (13,18 / -10) és (-15,18 / -10). A metszéspontok az X tengellyel parabola koordinátái (-1,318,0) és (1,518,0).
  • A mi példánkban, a standard egyenlet formájában 2x 2 + 16x + 39:
  • X = (-16 +/- √ (február 16-04 (2) (39))) / 2 (2)
  • X = (-16 +/- √ (256-312)) / 4
  • X = (-16 +/- √ (-56) / - 10
  • Mivel a négyzetgyök negatív szám lehet, akkor a parabola nem metszi az X tengely

Ha meg kell találni, és alkalmazni kell a tengely metszéspontja Y. Ez nagyon egyszerű - helyettesítő x = 0, az eredeti egyenletet, és megtalálják az értéke „y”. A metszéspontja az Y tengely mindig egy. Megjegyzés: a egyenletek formájában a standard metszéspont a koordinátái (0, s).

• Például, a parabola másodfokú egyenlet 2x 2 + 16x + 39 metszi az Y tengelyt a ponton koordinátái (0, 39), mint C = 39. De ez lehetséges, és számítani:
  • f (x) = 2x 2 + 16x + 39
  • f (x) = 2 (0) 2 + 16 (0) + 39
  • f (x) = 39, vagyis egy másodfokú egyenlet a parabola metszi az Y tengelyt a ponton koordinátái (0, 39).
• Ebben a példában, a nem szabványos formában a 4. egyenlet (x - 5) 2 + 12 keresztezi az Y tengely a következőképpen számítjuk ki:
  • f (x) = 4 (X - 5) 2 + 12
  • f (x) = 4 (0-5) 2 + 12
  • f (x) = 4 (-5) 2 + 12
  • f (x) = 4 (25) + 12
  • f (x) = 112, azaz egy másodfokú egyenlet a parabola metszi az Y tengelyt a ponton koordinátái (0, 112).

Azt találtuk (és alkalmazott) csúcsa a parabola, az irányt és a metszéspont a tengelyek X és Y. Meg lehet építeni egy parabola át ezeket a pontokat, vagy találni, és szükség esetén további pontokat, majd építeni egy parabola. Erre a helyettesítő néhány érték „x” (mindkét oldalon felülről) az eredeti egyenletet, hogy kiszámolja a megfelelő értékeket „y”.

• Térjünk vissza az x 2 + 2x + 1 Azt már tudjuk, hogy a metszéspont a grafikon ennek az egyenletnek az X tengelyen a pont koordinátái (1,0). Ha a parabola csak egy metszéspontja az X tengely, azaz a csúcs a parabola fekszik az X tengely Ebben az esetben pont nem elegendő a helyes építése a parabola. Tehát hogy egy pár extra pontokat.
  • Legyen x = 0, x = 1, X = -2, X = -3.
  • x = 0: f (x) = (0) 2 + 2 (0) + 1 = 1. A pont koordinátái (0,1).
  • x = 1: f (x) = (1) 2 + 2 (1) + 1 = 4. A pont koordinátái (1,4).
  • -2 x =: f (x) = (-2) 2 + 2 (-2) + 1 = 1. A pont koordinátái (-2,1).
  • -3 x =: f (x) = (-3) 2 + 2 (-3) + 1 = 4. A pont koordinátái (-3,4).
  • Alkalmazzuk a pont a koordináta síkon és épít parabola (csatlakoztassa pontok U alakú görbe). Felhívjuk figyelmét, hogy a parabola teljesen szimmetrikus - bármely pontján az egyik ága a parabola flip (tekintettel a szimmetriatengely) a másik ágon a parabola. Ez időt takarít meg, mert nem kell számolnunk a pontok koordinátáinak mindkét ága a parabola.